数理基础 · A1

线性代数与刚体旋转表示

机器人里每一次坐标变换都在用矩阵。四元数、旋转矩阵、李群李代数是后面运动学、标定、优化的通用语言，学不好这里，后面全是黑箱。

要学什么

• 四种姿态表示（旋转矩阵 / 旋转向量 / 四元数 / 欧拉角）的互换，以及各自该在什么场合用
• 齐次变换 SE(3)：复合、求逆，以及「变换一个点」和「变换一个向量」的区别（平移量加不加）
• 四元数的双覆盖（q 与 −q 表示同一个旋转）、归一化、slerp 插值
• 欧拉角的万向锁：为什么不能拿它做插值或积分
• 手算一条相机 → 机械臂末端 → 基座的坐标链，并说明每一步在哪个坐标系里

四条路线需要多深

「精通」= 能从零推导 / 能手写实现 / 能判断别人的方案对不对；「用过」= 能调起来、能改参数；「知道」= 能听懂、能提问。

怎么算学会了

能手推旋转矩阵与四元数的互相转换，能解释为什么不能用欧拉角做插值（万向锁），能写出 SE(3) 的复合与求逆。

常见错误

• 用欧拉角做插值，姿态在奇异位形附近突然翻转，肉眼像是「电机抽了一下」
• 四元数不归一化，跑久了姿态缓慢漂移，第一反应却去查编码器
• 混淆基变换与坐标变换，公式看起来对，方向反了，标定怎么调都差 3 厘米

哪些岗位会考它